Закон рэлея джинса вывод

Закон рэлея джинса вывод

В декабре 2000 года мировая научная общественность отмечала столетний юбилей возникновения новой науки – квантовой физики и открытия новой фундаментальной физической константы – постоянной Планка. Заслуга в этом принадлежит выдающемуся немецкому физику Максу Планку. Ему удалось решить проблему спектрального распределения света, излучаемого нагретыми телами, перед которой классическая физика оказалась бессильной. Планк первым высказал гипотезу о квантовании энергии осциллятора (колебательной системы), несовместимую с принципами классической физики. Именно эта гипотеза, развитая впоследствии трудами многих выдающихся физиков, дала толчок процессу пересмотра и ломки старых понятий, который завершился созданием квантовой физики.

5.1. Тепловое излучение тел

Испускаемый источником свет уносит с собой энергию. Существует много различных механизмов подвода энергии к источнику света. В тех случаях, когда необходимая энергия сообщается нагреванием, т. е. подводом тепла, излучение называется тепловым или температурным . Этот вид излучения для физиков конца XIX века представлял особый интерес, так как в отличие от всех других видов люминесценции, тепловое излучение может находиться в состоянии термодинамического равновесия с нагретыми телами.

Изучая закономерности теплового излучения тел, физики надеялись установить взаимосвязь между термодинамикой и оптикой.

Если в замкнутую полость с зеркально отражающими стенками поместить несколько тел, нагретых до различной температуры, то, как показывает опыт, такая система с течением времени приходит в состояние теплового равновесия, при котором все тела приобретают одинаковую температуру. Тела обмениваются энергией только путем испускания и поглощения лучистой энергии. В состоянии равновесия процессы испускания и поглощения энергии каждым телом в среднем компенсируют друг друга, и в пространстве между телами плотность энергии излучения достигает определенного значения, зависящего только от установившейся температуры тел. Это излучение, находящееся в термодинамическом равновесии с телами, имеющими определенную температуру, называется равновесным или черным излучением . Плотность энергии равновесного излучения и его спектральный состав зависят только от температуры.

Если через малое отверстие заглянуть внутрь полости, в которой установилось термодинамическое равновесие между излучением и нагретыми телами, то глаз не различит очертаний тел и зафиксирует лишь однородное свечение всей полости в целом.

Пусть одно из тел в полости обладает свойством поглощать всю падающую на его поверхность лучистую энергию любого спектрального состава. Такое тело называют абсолютно черным . При заданной температуре собственное тепловое излучение абсолютно черного тела, находящегося в состоянии теплового равновесия с излучением, должно иметь тот же спектральный состав, что и окружающее это тело равновесное излучение. В противном случае равновесие между абсолютно черным телом и окружающем его излучением не могло бы установиться. Поэтому задача сводится к изучению спектрального состава излучения абсолютно черного тела. Решить эту задачу классическая физика оказалась не в состоянии.

Для установления равновесия в полости необходимо, чтобы каждое тело испускало ровно столько лучистой энергии, сколько оно поглощает. Это одна из важнейших закономерностей теплового излучения. Отсюда следует, что при заданной температуре абсолютно черное тело испускает с поверхности единичной площади в единицу времени больше лучистой энергии, чем любое другое тело.

Абсолютно черных тел в природе не бывает. Хорошей моделью такого тела является небольшое отверстие в замкнутой полости (рис. 5.1.1). Свет, падающий через отверстие внутрь полости, после многочисленных отражений будет практически полностью поглощен стенками, и снаружи отверстие будет казаться совершенно черным. Но если полость нагрета до определенной температуры , и внутри установилось тепловое равновесие, то собственное излучение полости, выходящее через отверстие, будет излучением абсолютно черного тела. Именно таким образом во всех экспериментах по исследованию теплового излучения моделируется абсолютно черное тело.

С увеличением температуры внутри полости будет возрастать энергия выходящего из отверстия излучения и изменяться его спектральный состав.

Распределение энергии по длинам волн в излучении абсолютно черного тела при заданной температуре характеризуется излучательной способностью , равной мощности излучения с единицы поверхности тела в единичном интервале длин волн. Произведение равно мощности излучения, испускаемого единичной площадкой поверхности по всем направлениям в интервале длин волн. Аналогично можно ввести распределение энергии по частотам . Функцию (или ) часто называют спектральной светимостью, а полный поток излучения всех длин волн, равный
называют интегральной светимостью тела.

К концу XIX века излучение абсолютно черного тела было хорошо изучено экспериментально.

В 1879 году Йозеф Стефан на основе анализа экспериментальных данных пришел к заключению, что интегральная светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени абсолютной температуры :

Несколько позднее, в 1884 году, Л. Больцман вывел эту зависимость теоретически, исходя из термодинамических соображений. Этот закон получил название закона Стефана–Больцмана . Числовое значение постоянной , по современным измерениям, составляет

Это соотношение ранее было получено Вином из термодинамики. Оно выражает так называемый закон смещения Вина : длина волны , на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела, обратно пропорциональна абсолютной температуре . Значение постоянной Вина

При практически достижимых в лабораторных условиях температурах максимум излучательной способности лежит в инфракрасной области. Только при максимум попадает в видимую область спектра. Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на (зеленая область спектра), что соответствует температуре наружных слоев Солнца около (если рассматривать Солнце как абсолютно черное тело).

Успехи термодинамики, позволившие вывести законы Стефана–Больцмана и Вина теоретически, вселяли надежду, что, исходя из термодинамических соображений, удастся получить всю кривую спектрального распределения излучения черного тела . В 1900 году эту проблему пытался решить знаменитый английский физик Д. Релей, который в основу своих рассуждений положил теорему классической статистической механики о равномерном распределении энергии по степеням свободы в состоянии термодинамического равновесия . Эта теорема была применена Релеем к равновесному излучению в полости. Несколько позже эту идею подробно развил Джинс. Таким путем удалось получить зависимость излучательной способности абсолютно черного тела от длины волны и температуры :

Это соотношение называют формулой Релея–Джинса . Оно согласуется с экспериментальными данными только в области достаточно длинных волн (рис. 5.1.3.). Кроме того, из нее следует абсурдный вывод о том, что интегральная светимость черного тела должна обращаться в бесконечность, а, следовательно, равновесие между нагретым телом и излучением в замкнутой полости может установиться только при абсолютном нуле температуры.

Таким образом, безупречный с точки зрения классической физики вывод приводит к формуле, которая находится в резком противоречии с опытом. Стало ясно, что решить задачу о спектральном распределении излучения абсолютно черного тела в рамках существующих теорий невозможно. Эта задача была успешно решена М. Планком на основе новой идеи, чуждой классической физике.

На основе гипотезы о прерывистом характере процессов излучения и поглощения телами электромагнитного излучения Планк получил формулу для спектральной светимости абсолютно черного тела. Формулу Планка удобно записывать в форме, выражающей распределение энергии в спектре излучения абсолютно черного тела по частотам , а не по длинам волн .

Здесь – скорость света, – постоянная Планка, – постоянная Больцмана, – абсолютная температура.

Формула Планка хорошо описывает спектральное распределение излучения черного тела при любых частотах. Она прекрасно согласуется с экспериментальными данными. Из формулы Планка можно вывести законы Стефана–Больцмана и Вина. При формула Планка переходит в формулу Релея–Джинса.

Решение проблемы излучения черного тела ознаменовало начало новой эры в физике. Нелегко было примириться с отказом от классических представлений, и сам Планк, совершив великое открытие, в течение нескольких лет безуспешно пытался понять квантование энергии с позиции классической физики.

8.2. Формула Рэлея-Джинса

По теореме о равнораспределении энергии по степеням свободы на одну степень свободы в классической статистической системе приходится энергия KT/2. У гармонического осциллятора, описывающего одну моду колебаний, средняя кинетическая энергия равна средней потенциальной и поэтому его средняя энергия равна KT. В результате получим:.

Равенство называется Формулой Рэлея-Джинса. Она хорошо согласуется с опытом при малых частотах. Но при W®¥ получается недопустимое соотношение: UW,TÞ¥. Кроме того, полная объемная плотность излучения также стремится в бесконечность. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, находится в разительном противоречии с опытом.

Вин предположил, что каждая мода колебаний является носителем энергии E(W), но не все моды данной частоты возбуждены. Относительное число DN/N — возбужденных мод дается распределением Больцмана; DN/N = E—E(W)/KT. Откуда для средней энергии, приходящейся на моды с частотой W, находим

.

Из общих термодинамических соображений Вин заключил, что энергия моды частотой W пропорциональна частоте, т. е. (коэффициент пропорциональности дан в современных обозначениях в виде постоянной Планка, которая в то время не была известна). Тогда формула c учетом принимает вид: Эта формула носит название формулы Вина и хорошо согласуется с опытом в области достаточно больших частот.

Правильная формула спектральной плотности энергии равновесного излучения, подтвержденная всеми экспериментальными исследованиями, была найдена Планком полуэмпирическим путем. Затем Планк сделал теоретический вывод этой формулы, изложенной им 14 декабря 1900 г. на заседании Немецкого физического Общества. Этот день считается днем рождения новой — квантовой физики.

Основная гипотеза Планка состояла в том, что излучение и поглощение света веществом происходит не непрерывно, а конечными порциями, называемыми квантами света или квантами энергии. Если придерживаться метода, который был использован для вывода формулы Рэлея-Джинса, то гипотезу Планка удобно сформулировать так: энергия гармонического осциллятора может принимать не произвольные, а только избранные значения, образующие дискретный ряд: 0, E0, 2E0, 3E0 ,…, где E0 — определенная величина, зависящая только от собственной частота W осциллятора. Здесь под осциллятором понимается не только частица, способная совершать гармонические свободные колебания, но и стоячая волна определенной частоты в полости.

Если осциллятор находится в полости, стенки которой поддерживаются при постоянной температуре, то наряду с излучением будут происходить и акты поглощения, в результате которых возбуждаются и высшие энергетические уровни. Установится определенное состояние равновесия, в котором число актов излучения в среднем равно числу обратных актов поглощения. В этом состоянии будут возбуждены все энергетические уровни, но с различными вероятностями. Поэтому дли нахождения функции UW,T нужно было определить среднюю энергию осциллятора в состоянии статистического равновесия.

По теореме Больцмана вероятности возбуждения энергетических уровней осциллятора пропорциональны величинам: Поэтому где введено обозначение X = E0/(KT). Значение знаменателя перепишется так: Числитель находится дифференцированием этой формулы по X:

И, следовательно, Подставив это значение в, найдем

Величину E0 Планк определил из требования, чтобы последнее выражение удовлетворяло общей термодинамической формуле Вина:

Так как E0 есть характеристика только самого осциллятора, поэтому она не может зависеть от температуры Т, а должна зависеть только от собственной частоты осциллятора. В таком случае, чтобы левая часть последнего равенства была функцией только аргумента W/T необходимо и достаточно, чтобы,

Где =1,054×10-34Дж×с — постоянная Планка.

Если выражение подставить в, то и получится формула Планка: При <<KT (малых частотах) формула переходит в закон Рэлея-Джинса, а при >> KT (больших частотах) — в закон Вина.

Интегрируя функцию Планка по всем частотам, получим полную объемную плотность излучения:

или UT = AT4 , где 7,56×10-16 Дж м-3 K-4. Переходя к энергетической светимости абсолютно черного тела с учетом (6), последнее соотношение перепишем так: ET = ST4,

Где S = Ac/4 = 5,67 10-8 Вт м-3 K-4 носит название Постоянной Стефана-Больцмана, а соотношение описывает Закон Стефана-Больцмана.

Максимум спектральной плотности излучения может быть найден из формулы. Однако положение максимума зависит от того, в какой шкале определяется спектральная плотность. Как указывалось, на практике обычно пользуются шкалой длин волн и функцией спектральной плотности энергетической светимости излучающего тела EL,T. Для абсолютно черного тела, с учетом и формула Планка для этой функции принимает вид: где С1 = 2PHc2 И С2 = Hc/K — постоянные. Функция EL,T описывает так называемый спектр излучения абсолютно черного тела, вид которого для различных температур представлен на рис. 8.1.

Площади, ограниченные кривыми графиков, определяют энергетические светимости при различных температурах. Положение максимума спектральной плотности энергетической светимости определяется из условия DEL,T/DL = 0, дающего для определениях LMАх трансцендентное уравнение 5 = Xex (Ex—1), где Решением этого уравнения является X = 4,865, что приводит к выражению LMaxT = Ch/Kx = B,

Где B @ 0,0029 мK — постоянная cмещения Вина, а само соотношение называется Законом смещения Вина. Как видно из рис.8 1, при повышении температуры тела максимум EL,Т смещается в сторону меньших длин волн в соответствии о законом смещения Вина. Максимальное значение спектральной плотности энергетической светимости согласно и изменяется с температурой по следующему закону: ELMax,Т = С3×T5, где

Вт/(м2 мкм K5).

Формула Рэлея-Джинса

Излучение абсолютно черного тела равнозначно с энергетической точки зрения излучению бесконечного количества гармонических осцилляторов, которые не взаимодействуют между собой. Рэлей и Джинс применили к равновесному излучению в полости теорему о равномерном распределении энергии по степеням свободы. Которая говорит о том, что в состоянии статистического равновесия на каждую степень свободы приходится в среднем $frac<1><2>kT$ кинетической энергии ($k=1,38cdot <10>^<-23>frac<Дж><К>$). Если степень свободы колебательная, то следует учесть и потенциальную энергию. Если мы имеем дело с гармоническими колебаниями, то значение энергии взаимодействия, так же будет равно $frac<1><2>kT$. Так, получается, что на каждую степень свободы в среднем приходится энергия ($leftlangle varepsilon rightrangle $) равная $kT$, то есть запишем:

В полости рассматриваемое нами излучение является системой стоячих волн. Если не учитывать поляризацию количество этих волн в единице объема полости задается формулой:

Используя предположение Рэлея и Джинса об энергии колебаний, умножим (2) на (1), получим плотность энергии ($w_$), которая приходится на частоты в интервале $dnu $:

Формулу (4) можно записать через циклическую частоту ($omega $), в таком случае она примет вид:

Зная связь между спектральной плотностью ($w_$) и излучательной способностью абсолютно черного тела ($_$):

получим, что энергетическая светимость абсолютно черного тела равна:

Формулы (7,8) называются формулами (законами) Рэлея — Джинса. Формулы (4,5) также иногда называют формулами Рэлея — Джинса. Расчеты, проводимые с помощью формулы Рэлея — Джинса сходятся с экспериментальными данными только в области малых частот (или больших длин волн) и резко расходятся с опытом для больших частот. Так при больших частотах $_$ монотонно возрастает, не имея максимума.

Интегральную плотность энергии. Проинтегрируем выражение (4) по частоте в пределах от нуля до бесконечности.

Классическая физика требует, чтобы формула Релея — Джинса была справедлива при любых частотах. Однако мы получили в (9) для интегральной плотности энергии бесконечное значение. Следствием теории Рэлея — Джинса становится невозможность теплового равновесия между веществом и излучением. П.С. Эренфестом такой вывод был назван ультрафиолетовой катастрофой. Дело в том, что в теории Рэлея — Джинса излучение в полости имеет бесконечное количество степеней свободы, а вещество конечное. И если основываться на равномерном распределении энергии по степеням свободы, то при тепловом равновесии вся энергия должна быть сосредоточена в излучении. Однако и тезис о том, что теорема о равномерном распределении энергии является неприменимой к излучению, неубедителен, так как непонятно, почему для одних она справедлива, а для других нет.

Формула для плотности энергии

К формуле Рэлея — Джинса пришел и Планк. Планк провел рассуждения и применение вышеназванной теоремы к одномерному гармоническому осциллятору, помещенному в полость с равновесным излучением (к веществу, а не излучению). Под действием изменяющегося хаотически электромагнитного поля излучения осциллятор совершает колебания с произвольно изменяющимися амплитудами и фазами, поглощая и излучая электромагнитные волны. Энергия осциллятора будет изменяться около среднего значения $leftlangle varepsilon rightrangle $. В результате Планк получил формулу для плотности энергии:

Вопрос. Закон Стефана-Больцмана и закон смещения Вина. Формула Рэлея-Джинса. Проблема объяснения закономерностей излучения абсолютно чёрного тела.

1)Закон Стефана — Больцмана — интегральный закон излучения абсолютно чёрного тела. Определяет зависимость плотности мощности излучения абсолютно чёрного тела от его температуры.

В словесной форме закон может быть сформулирован следующим образом [1] :

Полная объёмная плотность равновесного излучения и полная испускательная способность абсолютно чёрного тела пропорциональны четвёртой степени его температуры.

Математически выражается в следующей форме для объёмной плотности равновесного излучения :

,>где — некая универсальная константа, — температура абсолютно чёрного тела.

Для полной испускательной способности (энергетической светимости) закон имеет вид:

где — постоянная Стефана — Больцмана, которая может быть выражена через фундаментальные константы путём интегрирования по всем частотам формулы Планка [2] :

Численно постоянная Стефана — Больцмана равна

Закон открыт сначала эмпирически Й. Стефаном в 1879 году, и через пять лет выведен теоретически Л.

Больцманом в предположении пропорциональности плотности энергии излучения его давлению .

Важно отметить, что закон говорит только об общей излучаемой энергии. Распределение энергии по спектру излучения описывается формулой Планка, в соответствии с которой в спектре имеется единственный максимум, положение которого определяется законом Вина.

Применение закона к расчёту эффективной температуры поверхности Земли даёт оценочное значение, равное 249 К или −24 °C.

3) В 1900 году Рэлей подошёл к изучению спектральных закономерностей излучения черного тела с позиции статистической физики воспользовавшись классическим законом равномерного распределения энергии по степеням свободы.

Он рассмотрел равновесное излучение в замкнутой полости с зеркальными стенками как совокупность стоячих электромагнитных волн (осцилляторов).

К стоячим волнам, образующимся в промежутке между двумя стенками, Рэлей применил один из основных законов статистической физики – закон о равномерном распределении энергии между степенями свободы системы, находящейся в равновесии. Каждой стоячей волне со своей собственной частотой соответствует своя колебательная степень свободы (на одну колебательную степень свободы приходится , то есть сумма потенциальной и кинетической тоже (в среднем)). То есть каждый осциллятор в среднем имеет энергию, равную kT: .

В 1905 году Джинс уточнил расчеты Рэлея и окончательно получил:

Это и есть формула Рэлея–Джинса.

Из формулы (1.5.1) видно, что монотонно возрастает с ростом ν 2 в отличие от экспериментальной, кривой которая имеет максимум (рис. 1.5).

Формула (1.5.1) справедлива только в области малых частот и не согласуется с законом Вина. Попытка получить из формулы Рэлея–Джинса закон Стефана–Больцмана (R

T 4 ) приводит к абсурду:

Этот результат получил название «ультрафиолетовой катастрофы», так как с точки зрения классической физики вывод Рэлея–Джинса был сделан безупречно.

Итак, было получено две формулы, описывающие излучение абсолютно черного тела: одна для коротковолновой части спектра (формула Вина), другая – для длинноволновой (формула Рэлея–Джинса). Задача состояла в том, чтобы получить выражение, описывающее тепловое излучение во всем диапазоне частот.

2) В 1893 году немецкий ученый Вильгельм Вин рассмотрел задачу об адиабатическом сжатии излучения в цилиндрическом сосуде с зеркальными стенками и подвижным зеркальным поршнем. При движении поршня энергия излучения единицы объема (плотность энергии) будет возрастать по двум причинам:

· за счёт уменьшения объема (общая величина энергии постоянна);

· за счёт работы, совершаемой поршнем против давления излучения.

Однако, в силу эффекта Доплера (увеличение частоты излучения, отраженного от движущегося поршня) движение поршня приводит к изменению частоты излучения. Окончательно Вин получил:

где и – постоянные, которые Вин не расшифровал.

Эта формула дает хорошее согласие с опытом в коротковолновой части спектра и не годится для длинноволновой (рис.1.4).

Выражение (1.4.1) имеет сейчас лишь историческую ценность. Но Вин нашел зависимость ( – частота соответствующая максимальному значению абсолютно черного тела). Найдем максимум функции (1.4.1), то есть производную по ν и приравняем к нулю.

Это и есть закон смещения Вина. Смещение частоты в зависимости от температуры хорошо иллюстрируется экспериментальными кривыми, изображенными на рис. 1.3.

Чаще закон смещения Вина записывают в виде , где постоянная Вина . (За работы по тепловому излучению Вин в 1910 году получил Нобелевскую премию).

4)Абсолютно чёрных тел в природе не существует, поэтому в физике для экспериментов используется модель. Она представляет собой непрозрачную замкнутую полость с небольшим отверстием, стенки которой имеют одинаковую температуру. Свет, попадающий внутрь сквозь это отверстие, после многократных отражений будет полностью поглощён, и отверстие снаружи будет выглядеть совершенно чёрным [3] . Но при нагревании этой полости у неё появится собственное видимое излучение. Поскольку излучение, испущенное внутренними стенками полости, прежде, чем выйдет (ведь отверстие очень мало), в подавляющей доле случаев претерпит огромное количество новых поглощений и излучений, то можно с уверенностью сказать, что излучение внутри полости находится в термодинамическом равновесии со стенками. (На самом деле, отверстие для этой модели вообще не важно, оно нужно только чтобы подчеркнуть принципиальную наблюдаемость излучения, находящегося внутри; отверстие можно, например, совсем закрыть, и быстро приоткрыть только тогда, когда равновесие уже установилось и проводится измерение).

Вопрос. Квантовая гипотеза излучения Планка. Формула Планка. Значение теории Планка.

Гипо́теза Пла́нка — гипотеза, выдвинутая 14 декабря 1900 года Максом Планком и заключающаяся в том, что при тепловом излучении энергия испускается и поглощается не непрерывно, а отдельными квантами (порциями). Каждая такая порция-квант имеет энергию >>, пропорциональную частоте ν излучения:

>=hnu =hbar omega >где h или <2pi >>> — коэффициент пропорциональности, названный впоследствии постоянной Планка. На основе этой гипотезы он предложил теоретический вывод соотношения между температурой тела и испускаемым этим телом излучением — формулу Планка.

Позднее гипотеза Планка была подтверждена экспериментально.

Выдвижение этой гипотезы считается моментом рождения квантовой механики.

Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.

Опора деревянной одностоечной и способы укрепление угловых опор: Опоры ВЛ — конструкции, предназначен­ные для поддерживания проводов на необходимой высоте над землей, водой.

Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.